Trigonometría
La trigonometría es una rama de la matemática, cuyo significado etimológico es "la medición de los triángulos". Deriva de los términos griegos τριγωνο trigōno triángulo y μετρον metron medida.1
En términos generales, la trigonometría es el estudio de las funciones seno, coseno; tangente, cotangente; secante y cosecante. Interviene directa o indirectamente en las demás ramas de la matemática y se aplica en todos aquellos ámbitos donde se requieren medidas de precisión. La trigonometría se aplica a otras ramas de la geometría, como es el caso del estudio de las esferas en la geometría del espacio.
Posee numerosas aplicaciones: las técnicas de triangulación, por ejemplo, son usadas en astronomía para medir distancias a estrellas próximas, en la medición de distancias entre puntos geográficos, y en sistemas de navegación por satélites.
5 ejemplos de trigonometría
Las funciones trigonométricas
La trigonometría como rama de las matemáticas realiza su estudio en la relación entre los lados y ángulos de un triángulo rectángulo, con una aplicación inmediata en geometría y sus aplicaciones. Para el desarrollo de este fin se definieron una serie de funciones que han sobrepasado su fin original, convirtiéndose en elementos matemáticos estudiados en sí mismos y con aplicaciones en los campos más diversos.
Función trigonométrica
Las funciones trigonométricas, en matemáticas, son relaciones angulares que se utilizan para relacionar los ángulos del triángulo con las longitudes de los lados del mismo según los principios de la Trigonometría.
Las funciones trigonométricas son de gran importancia en física, astronomía, cartografía, náutica, telecomunicaciones, la representación de fenómenos periódicos, y otras muchas aplicaciones.
Todas las funciones trigonométricas de un ángulo θ pueden ser construidas geométricamente en relación a una circunferencia de radio unidad de centro O.
Ejemplos de las funciones trigonométricas
1- Usando la geometría y las propiedades de los límites, se puede demostrar que la derivada del seno es el coseno y la derivada del coseno es el seno con signo negativo.
2- se utilizan para relacionar los ángulos del triángulo con las longitudes de los lados del mismo según los principios de la Trigonometría.
3- la representación de fenómenos periódicos.
4- Se utilizan como el punto de partida para el tratamiento riguroso de las funciones trigonométricas.
5- Para encontrar las medidas de algunos triangulos.
Ley de los senos
La ley de los Senos es una relación de tres igualdades que siempre se cumplen entre los lados y ángulos de un triángulo cualquiera, y que es útil para resolver ciertos tipos de problemas de triángulos.
La ley de los Senos dice así:
donde A, B y C (mayúsculas) son los lados del triángulo, y a, b y c (minúsculas) son los ángulos del triángulo:
Observa que las letras minúsculas de los ángulos no están pegadas a su letra mayúscula. O sea, la a está en el ángulo opuesto de A. La b está en el ángulo opuesto de B. Y la c está en el ángulo opuesto de C. Siempre debe ser así cuando resuelvas un triángulo. Si no lo haces así, el resultado seguramente te saldrá mal.
Ley del coseno
La ley de los Coseno es una expresión que te permite conocer un lado de un triángulo cualquiera, si conoces los otros dos y el ángulo opuesto al lado que quieres conocer. Esta relación es útil para resolver ciertos tipos de problemas de triángulos.
La ley del Coseno dice así:
y si lo que te dan son los lados, y te piden el ángulo que hacen los lados B y C, entónces dice así:
donde A, B y C (mayúsculas) son los lados del triángulo, y a, b y c (minúsculas) son los ángulos del triángulo:
Observa que las letras minúsculas de los ángulos no están pegadas a su letra mayúscula. O sea, la a está en el ángulo opuesto de A. La b está en el ángulo opuesto de B. Y la c está en el ángulo opuesto de C. Siempre debe ser así cuando resuelvas un triángulo. Si no lo haces así, el resultado seguramente te saldrá mal.
Ley tangente
En trigonometría la tangente de un ángulo en un triángulo rectángulo se define como la razón entre el cateto opuesto y el adyacente.
siendo a el cateto opuesto, y b el cateto adyacente Equivale también al valor.
Ejemplos de las leyes
ejemplo 1
Datos Fórmulas
A = 80° 25', A + B + C = 180°;
B = 35° 43', a = b = c .
c = 60. sen A sen B sen C
Cálculo de C.
A + B + C = 180°; 80° 25' + 35° 43' + C = 180°; 116° 8' + C = 180°
. . C = 180° 116° 8' = 63° 52'
Cálculo de a.
a = c ; a = 60
Sen A sen C sen 80° 25' sen 63° 52'
a = 60
0.98604 0.89777
.
. . a = (60) (0.98604) = 59.16240 = 65.88
0.89777 0.89777
Cálculo de b.
b = c ; b = 60 .
sen B sen C sen 35° 43' sen 63° 52'
b = 60 .
0.58378 0.89777
.
. . b = (60) (0.58378) = 39.01
0.89777
Ejemplo no. 2
a = 41
B = 27 ° 50´
C = 51°
A = 27 ° 50´+ 51°- 180° = A = 101° 10´
Cálculo de c
a . = c _ 41 _ = c _ c = 32.4778
Sen A Sen C Sen 19° 10´ Sen51°
Cálculo de b
b = 41 _ b = 19.5123
Sen 27° 50´ Sen101° 10´
Ejemplo no. 3
a = 78.6
A = 83° 26´
B = 39° 13´
C = 83° 26´+ 39°13´-180° C = 57°21´
Cálculo de b
78.6 = b _ b = 50.0233
Sen83° 26´ Sen39°13´
Cálculo de c
78.6 _ = c . c = 66.6168
Sen83°26´ Sen57° 21´
4-Ejemplos de resolución de triángulos oblicuángulos.
Primer caso: Conocidos los tres lados.
Ejemplo. Resolver el triángulo cuyos datos son:
a = 34, b = 40, c = 28.
Se aplica la ley de coseno.
Cálculo de A. a2 = b2 + c² - 2bc cos A.
Despejando cos A: cos A = b² + c² - a²
2bc
Cos A = 40² + 28² - 40² = 1600 + 784 - 1156 = 307 = 0.54821.
2 x 40 x 28 2240 560
.
. . A = 56° 45'.
Cálculo de B.
Análogamente: a² + c² - b²
cos B = 2ac
.
. . Cos B = 34² + 28² 40² = 1156 + 784 1600 = 340 = 0.17857.
(2) (34) (28) 1904 1904
.
. . B = 79° 43'.
Cálculo de C.
Análogamente:
Cos C = a² + b² - c² .
2ab ´
Cos C = 34² + 40² 28² = 1156 + 1600 784 = 1972 = 0.72500
(2) (34) (40) 2720 2720
.
. . C = 43° 32´
Es decir:
A = 56° 45"
B = 79° 43'
C = 43° 32'
A + B + C = 178° 120' = 180°.
5-Segundo caso. Se resolverá un triángulo conocidos dos lados y el ángulo comprendido. Resolver el triangulo cuyos datos son:
A = 68° 18'; b = 6; c = 10.
Datos Fórmulas
A = 68° 18', a = "b² + c² 2bc cos A.
b = 6, cos B = a² + c² - b²
2ac ´
c = 10, cos C = a² + b² - c²
2ab
Cálculo de a.
a = "b² + c² 2bc cos A = "6² + 10² (2) (6) (10) (cos 68° 18',)
a = "36 + 100 - (120) (0.36975) = "136 - 44.37 = "91.63
a = 9.57
Cálculo de B.
Cos B = a² + c² b² = 9.57² + 10² 6² = 91.63 + 100 36.
2ac 2 x 9.57 x 10 191.4 '
Cos B = 191.63 - 36 = 155.63 = 0.81311.
• 191.4
.
. . B = 35° 36.
Cálculo de C.
Cos C = a² + b² - c² = 9.57 + 6² - 10² = 91.63 + 36 - 100 .
2ab (2) (9.57) (6) (12) (9. 57) `
Cos C = 127.63 - 100 = 27.63 = 0.24059.
• 114.84
. . C = 76° 6.
