Traza las siguientes circunferencias y encuentra su ecuación en su forma general y ordinaria además de su área y perímetro.
1-C (4,5) r=4
(x-h)²+ (y-k)²=r²
(x-4)²+(y-2)²=4²
(x-4)²+(y-2)²=16 ordinaria
x²-8x+16+y²-4y+4=16
x²+y²-8x-4y+20-16=0
x²+y²-8x-4y+4=0 General
Área:
a=πr²
a=π x (4)²
a=πx16
a=50.26
Perímetro:
P=πd
P=πx8
P=25.1328
2- c(3, -2) r=5
(x-h)²+ (y-k)²=r²
(x-3)²+(y+2)²=5²
(x-3)²+(y+2)²=25 ordinaria
x²-6x+9+y²+4y+4=25
x²+y²-6x+4y+13-25=0
x²+y²-6x+4y-12=0 general
Área:
a=πr²
a=π x (5)²
a=πx25
a=78.54
Perímetro:
P=πd
P=πx10
P=31.416
3- c (0, -1) r=2
(x-h)²+ (y-k)²=r²
(x-0)²+(y+1)²=2²
(x-0)²+(y+1)²=4 ordinaria
x²+0+y²+2y+1=4
x²+y²+2y+1-4=0
x²+y²+2y-3=0 general
Área:
a=πr²
a=π x (2)²
a=πx4
a=12.5664
Perímetro:
P=πd
P=πx4
P=12.5664
4- c (-3,0) r=1
(x-h)²+ (y-k)²=r²
(x+3)²+(y-0)²=1²
(x+3)²+(y-0)²=1 ordinaria
x²+6x+9+y²+0=1
x²+y²+6x+9-1=0
x²+y²+6x+8=0 general
Área:
a=πr²
a=π x (1)²
a=πx1
a=3.1416
Perímetro:
P=πd
P=πx2
P=6.2832
5- c (-1,-2) r=3
(x-h)²+ (y-k)²=r²
(x+1)²+(y+2)²=3²
(x+1)²+(y+2)²=9 ordinaria
x²+2x+1+y²+4y+4=9
x²+y²+2x+4y+5-9=0
x²+y²+2x+4y-4=0 general
Área:
a=πr²
a=π x (3)²
a=πx9
a=28.2749
Perímetro:
P=πd
P=πx6
P=18.8496
6- c (-3/4, -2) r=6
(x-h)²+ (y-k)²=r²
(x+3/4)²+(y+2)²=6²
(x+3/4)²+(y+2)²=36 ordinaria
x²+6/4x+9/16+y²+4y+4=36
x²+y²+6/4x+4y+73/16-36/1=0
x²+y²+6/4x+4y-503/16=0 general
9/16+4/1= 9+64/16= 73/16
73/16-36/1= 73-576/16= -503/16
Área:
a=πr²
a=π x (6)²
a=πx36
a=113.0976
Perímetro:
P=πd
P=πx12
P=37.6992
7- c (-4,-2) r=2
(x-h)²+ (y-k)²=r²
(x+4)²+(y+2)²=2²
(x+4)²+(y+2)²=4 ordinaria
x²+8x+16+y²+4y+4=4
x²+y²+8x+4y+20-4=0
x²+y²+8x+4y+16=0 general
Área:
a=πr²
a=π x (2)²
a=πx4
a=12.5664
Perímetro:
P=πd
P=πx4
P=12.5664
8- c (+5,-1) r=1/2
(x-h)²+ (y-k)²=r²
(x-5)²+(y+1)²=1/2²
(x-5)²+(y+1)²=1/4 ordinaria
x²-10x+25+y²+2y+1=1/4
x²+y²-10x+2y+26/1- 1/4=0
x²+y²-10x+2y + 103/4 = 0 general
26/1-1/4= 104-1/4= 103/4
Área:
a=πr²
a=π x (1/2)²
a=πx1/4
a=0.7854
Perímetro:
P=πd
P=πx1
P=3.1416
9- c (2,1) r=√5
(x-h)²+ (y-k)²=r²
(x-2)²+(y-1)²=√5²
(x-2)²+(y-1)²= 5 ordinaria
x²-4x+4+y²-2y+1=5
x²+y²-4x-2y+5 -5=0
x²+y²-4x-2y+0=0 general
Área:
a=πr²
a=π x (√5)²
a=πx5
a=15.7079
Perímetro:
P=πd
P=πx4.46
P=14
10- c (-1/4, 7/5) r=7
(x-h)²+ (y-k)²=r²
(x+1/4)²+(y-7/5)²=7²
(x+1/4)²+(y-7/5)²= 49 ordinaria
x²+2/4x+1/16+y²-14/5y+49/25=49
x²+y²+2/4x-14/5y+809/400-49/1=0
x²+y²+2/4x-14/5y-18,791/400=0 general
1/16+49/25= 25+784/400= 809/400
809/400-49/1= 809-19600/400= -10,791/400
Área:
a=πr²
a=π x (7)²
a=πx49
a=153.9384
Perímetro:
P=πd
P=πx14
P=33.9824
Traza en un plano cartesiano con regla y compas las circunferencias que pasan por los puntos no alineados y encuentra su área y perímetro.
11-a (2,3)
B (4,5)
C (-1,4)
C (1.2,5.5) r=1.3
(x-h)²+ (y-k)²=r²
(x-1.2)²+(y-5.5)²=1.3²
(x-1.2)²+(y-5.5)²=1.69 ordinaria
x²-2.4x+1.44+y²-11y+30.25=1.69
x²+y²-2.4x-11y+31.69-1.69=0
x²+y²-2.4x-11y+30=0 general
Área:
a=πr²
a=π x (1.3)²
a=πx1.69
a=5.30
Perímetro:
P=πd
P=πx2.6
P=8.1681
12- A (5,1)
B (2,-1)
C (3,-2)
C (3.7,.5) r=1
(x-h)²+ (y-k)²=r²
(x-3.7)²+(y-.5)²=1²
(x-3.7)²+(y-.5)²=1 ordinaria
x²-7.4x+13.69+y²-y+0.25=1
x²+y²-7.4x-y+13.94-1=0
x²+y²-7.4x-y+12.94=0 general
Área:
a=πr²
a=π x (1)²
a=πx1
a=3.1416
Perímetro:
P=πd
P=πx2
P=6.2832
13- A (-2,-3)
B (-4,-5)
C (1,-4)
C (-2.7,7) r=3.7
(x-h)²+ (y-k)²=r²
(x+2.7)²+(y-7)²=3.7²
(x+2.7)²+(y-7)²=13.69 ordinaria
x²+5.4x+7.29+y²-14y+49=13.69
x²+y²+5.4x-14y+56.29-13.69=0
x²+y²+5.4x-14y+42.6=0 general
Área:
a=πr²
a=π x (3.7)²
a=πx13.69
a=43
Perímetro:
P=πd
P=πx7.4
P=23.24784
14- A (2,3)
B (4,5)
C(-1,4)
C (1.3,5.8) r=3
(x-h)²+ (y-k)²=r²
(x-1.3)²+(y-5.8)²=3²
(x-1.3)²+(y-5.8)²=9 ordinaria
x²-2.6x+1.69+y²-11.6y+33.64=9
x²+y²-2.6x-11.6y+35.33-9=0
x²+y²-2.6x-11.6y+26.33=0 general
Área:
a=πr²
a=π x (3)²
a=πx9
a=28.2744
Perímetro:
P=πd
P=πx6
P=18.8496
15- A (0,0)
B (-3,-1)
C (5,3)
C (-6,15) r=8.2
(x-h)²+ (y-k)²=r²
(x+6)²+(y-15)²=8.2²
(x+6)²+(y-15)²=67.24 ordinaria
x²+12x+36+y²-30y+225=67.24
x²+y²+12x-30y+261-67.24=0
x²+y²+12x-30y+193.76=0 general
Área:
a=πr²
a=π x (8.2)²
a=πx67.24
a=211.2411
Perímetro:
P=πd
P=πx16.4
P=51.52224
Ejercicios de destreza
La bicicleta de Fer tiene ruedas con un diámetro de 50cm. Fer quiere visitar a Ceci que vive a 2km de su casa y quiere saber cuantas vueltas dará su bicicleta para llegar a la casa de Ceci, ¿Cómo puede calcularlo?
Primero se saca el perímetro de la rueda y después dividir el número de kilómetros entre el resultado del perímetro pero para esto tiene que igualar los quilómetros a cm.
1km=1000m
1m=100cm
2km=200,000cm
Perimetro:
P=πD
P=πx50cm
P=157.07cm
200,000÷157.07=1273.317 vueltas que dio
1cm=10cm
Alfredo desea saber cuál es la ecuación de la trayectoria de un caballo que se encuentra amarrado a una estaca por una cuerda de 2m cuando la cuerda está completamente tensa y suponiendo que el origen se encuentra en la estaca. Muéstrale a Alfredo el procedimiento para calcular lo anterior.
C (0,0) r=2
(x-h)²+ (y-k)²=r²
(x-0)²+(y-0)²=2m²
(x-0)²+(y-0)²=4m ordinaria
x²+0+y²+0=4
x²+y²+0-4=0
x²+y²-4=0 general
x²+y²=r²
x²+y²=4²
x²+y²=r²
x²+y²=7²
x²+y²=r²
x²+y²=2²
x²+y²=r²
x²+y²=10²
Calcula el radio de las siguientes circunferencias
X²+y²=r²
x²+y²=16
x²+y²=4
x²=9-y²
x²+y²=r²
x²=9-y²
x²+y²=9
x²+y²=3
x²+y²=12
x²+y²=r²
x²+y²=12
x²+y²=√12
x²+y²=1/4
x²+y²=1/2
x²+y²=4/9
x²+y²=2/3
Resuelve los siguientes problemas en el espacio correspondiente
El radar de un avión registra la trayectoria de un ciclón. Si el centro de ciclón esta en c (0,0) y cada anillo concéntrico de la imagen del radar tiene 1 unidad de ancho, determina la ecuación de la tercera circunferencia que encierra la mayor parte del ciclón.
C (0,0) r=3
(x-h)²+ (y-k)²=r²
(x-0)²+(y-0)²=3²
(x-0)²+(y-0)²=9unidades ordinaria
x²+0+y²+0=9
x²+y²+0-9=0
x²+y²-9=0 general
Alejandra lanza una piedra a un largo, las ondas que se originan tienen forma circular. Si el punto donde cayó la piedra es el origen de un sistema de coordenadas y la onda se aleja 3 unidades en cada segundo, ¿Cuál es la ecuación de la onda después de 3 segundos?
C (0,0) r=9
(x-h)²+ (y-k)²=r²
(x-0)²+(y-0)²=9²
(x-0)²+(y-0)²=81 unidades ordinaria
x²+0+y²+0=81
x²+y²+0-81=0
x²+y²-81=0 general
Axel es campesino, para regar su siembra una un aspersor que lanza el roció en forma circular alcanzando hasta un diámetro de 8 unidades. Si el aspersor se encuentra en el origen de un sistema de coordenadas, halla la ecuación de la circunferencia que describe el roción de riego.
C (0,0) r=4
(x-h)²+ (y-k)²=r²
(x-0)²+(y-0)²=4²
(x-0)²+(y-0)²=16 unidades ordinaria
x²+0+y²+0=16
x²+y²+0-16=0
x²+y²-16=0 general
Circunferencias con centro fuera del origen
Alberto se subió en la feria a un juego mecánico que se asemeja al siguiente:
La rueda mayor tiene 4m de radio
Las ruedas menores tienen 2m de diámetro.
Si coloca el origen del sistema de referencia en el centro de la rueda más grande quiere saber:
¿Cuál es la ecuación de cada una de las ruedas menores en la posición mostrada?
Azul
C (0,8) r=1
(x-h)²+ (y-k)²=r²
(x-0)²+(y-8)²=1²
(x-0)²+(y-8)²=1 ordinaria
x²+0+y²-16y+64=1
x²+y²-16y+64-1=0
x²+y²-16y+63=0 general
Amarilla
C (-8,0) r=1
(x-h)²+ (y-k)²=r²
(x+8)²+(y-0)²=1²
(x+8)²+(y-0)²=1 ordinaria
x²+16x+64+y²-0=1
x²+y²+16x+64-1=0
x²+y²+16x+63=0 general
Verde
C (0,-8) r=1
(x-h)²+ (y-k)²=r²
(x-0)²+(y+8)²=1²
(x-0)²+(y+8)²=1 ordinaria
x²+0+y²+16y+64=1
x²+y²+16y+64-1=0
x²+y²+16y+63=0 general
Naranja
C (8,0) r=1
(x-h)²+ (y-k)²=r²
(x-8)²+(y-0)²=1²
(x-8)²+(y-0)²=1 ordinaria
x²-16x+64+y²-0=1
x²+y²-16x+64-1=0
x²+y²-16x+63=0 general
¿Cuál es el área y perímetro de todas las circunferencias involucradas?
azul
Área:
a=πr²
a=π x (1)²
a=πx1
a=3.1416
Perímetro:
P=πd
P=πx2
P=6.2831
Amarillo
Área:
a=πr²
a=π x (1)²
a=πx1
a=3.1416
Perímetro:
P=πd
P=πx2
P=6.2831
Verde
Área:
a=πr²
a=π x (1)²
a=πx1
a=3.1416
Perímetro:
P=πd
P=πx2
P=6.2831
Naranja
Área:
a=πr²
a=π x (1)²
a=πx1
a=3.1416
Perímetro:
P=πd
P=πx2
P=6.2831
Rueda mayor
Área:
a=πr²
a=π x (8)²
a=πx64
a=201.0624
Perímetro:
P=πd
P=πx16
P=50.2656
Determina la ecuación de la circunferencia y su grafica en su forma ordinaria para los centros y radios dados:
C (4,2) r=3
(x-h)²+ (y-k)²=r²
(x-4)²+(y-2)²=3²
(x-4)²+(y-2)²=9 ordinaria
C(-6,8) r=1/2
(x-h)²+ (y-k)²=r²
(x+6)²+(y-8)²=1/2²
(x+6)²+(y-8)²=1/4 ordinaria
C (3,-3) r=3/5
(x-h)²+ (y-k)²=r²
(x-3)²+(y+3)²=3/5²
(x-3)²+(y+3)²=9/25 ordinaria
C (-4,-5) r=√3/5
(x-h)²+ (y-k)²=r²
(x+4)²+(y+5)²=√3/5²
(x+4)²+(y+5)²=3/5 ordinaria
C (-6,9) r=2/√2
(x-h)²+ (y-k)²=r²
(x+6)²+(y-9)²=2/√2²
(x+6)²+(y-9)²=2/2 ordinaria
Determina las coordenadas del centro y el radio de cada un de las circunferencias siguientes:
(x-3/4)²+(y-3)²=81/4
C (3/4,3) r=9/2
(x-0.4)²+(y-2.4)²=37
C (0.4,2.4) r=6.1
(x-2/5)²+(y-1/2)²=1/4
C (2/5,1/2) r=1/2
(x+3)+y-36=0
(x+3)²+(y-0)²=36
C(-3,0) r=6
x²+(y-1)²=6
(x+0)²+(y-1)²=6
C (0,1) r=√6
Realiza la grafica de las siguientes circunferencias
(x-2)²+(y-3)²=49
C (2,3) r=7
(x-2/5)²+(y-1/2)²=4
C(2/5,1/2) r=2
(x-5)²+(y-9)²=20
C (5,9) r=√20
(x-6)²+y²-81=0
(x-6)²+(y-0)²=81
C(6,0) r=9
x²+(y+5)²=25
(x+0)²+(y+5)²=25
C (0,-5) r=5
(x-1/2)²+(y+1/4)²=9
C (1/2,-1/4) r=3
Dadas las siguientes graficas encuentra la ecuación
C (-3,3) r=5
(x-h)²+ (y-k)²=r²
(x+3)²+(y-3)²=5²
(x+3)²+(y-3)²=25 ordinaria
x²+6x+9+y²-6y+9=25
x²+y²+6x-6y+18-25=0
x²+y²+6x-6y-7=0 General
C (5,4) r=4
(x-h)²+ (y-k)²=r²
(x-5)²+(y-4)²=4²
(x-5)²+(y-4)²=16 ordinaria
x²-10x+25+y²-8y+16=16
x²+y²-10x-8y+41-16=0
x²+y²-10x-8y+25=0 General
C (-5,-5) r=2
(x-h)²+ (y-k)²=r²
(x+5)²+(y+5)²=2²
(x+5)²+(y+5)²=4 ordinaria
x²+10x+25+y²+10y+25=4
x²+y²+10x+10y+50-4=0
x²+y²+10x+10y+46=0 General
C (-2, 0) r=7
(x-h)²+ (y-k)²=r²
(x+2)²+(y-0)²=7²
(x+2)²+(y-0)²=49 ordinaria
x²+4x+4+y²+0=49
x²+y²+4x+4-49=0
x²+y²+4x-45=0 General
C (8,8) r=3/2
(x-h)²+ (y-k)²=r²
(x-8)²+(y-8)²=3/2²
(x-8)²+(y-8)²=9/4 ordinaria
x²-16x+64+y²-16y+64=9/4
x²+y²-16x-16y+128/1-9/4=0
x²+y²-16x-16y503/4=0 General
128/1-9/4=512-9/4=503/4
C (-3,-3) r=6
(x-h)²+ (y-k)²=r²
(x+3)²+(y+3)²=6²
(x+3)²+(y+3)²=36 ordinaria
x²+6x+9+y²+6y+9=36
x²+y²+6x+6y+18-36=0
x²+y²+6x+6y-18=0 General
Resuelve cada uno de los problemas siguientes.
La ecuación de la circunferencia es (x-5)²+(y-3)²=39 muestra que el punto (5,-2) está dentro de la circunferencia y que el punto (-1,5) está afuera.
(x-5)²+(y-3)²=39
C (5,3) r=√39
Determina la ecuación de la circunferencia cuyo centro es c(6,-2) y que es tangente al eje y.
C (6,-2) r=6
(x-h)²+ (y-k)²=r²
(x-6)²+(y+2)²=6²
(x-6)²+(y+2)²=36 ordinaria
x²-12x+36+y²+4y+4=36
x²+y²-12x+4y+40-36=0
x²+y²-12x+4y-4=0 General
Determina la ecuación de l circunferencia cuyo centro es c(-3,5) y que es tangente a la recta x=7
Determina la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto (7,-5) y es tangente a la recta 2x-2y-8=0 en el punto (3,-1)
La ecuación de la circunferencia es (x+2)²+(y-3)²=36 determina la ecuación de la tangente a la circunferencia que pasa por el punto (3,3).
C (-2,3) r=6
Halla la ecuación de la circunferencia de radio 7 cuyo centro esta en la intersección de las rectas 3x-2y-24=0 y 2x+7y+9=0
Halla la ecuación de la circunferencia que tiene diámetro con extremos en (3,6) y (-8,6).
C (-2.5,6) r=5.5
(x-h)²+ (y-k)²=r²
(x+2.5)²+(y-6)²=5.5²
(x+2.5)²+(y-6)²=30.25 ordinaria
x²+5x+6.25+y²-12y+36=30.25
x²+y²+5x-12y+42.25-30.25=0
x²+y²+5x-12y+12=0 General
